Geometria dźwięku – errata

Wspominaliśmy niegdyś o filmie Erica Ronkina zatytułowanym „Sonic Geometry: The Language of Frequency and Form”. Został on umieszczony na YouTube 21 września 2013. Długo nie musiał czekać na polskie tłumaczenie, gdyż jego trzynastominutowy wycinek pojawił się trzy miesiące później. W polskim internecie znany jest jako „Geometria dźwięku”. W tym wpisie wyjaśniamy po kolei wszystkie dźwięczne bzdury w nim zawarte.

Materiał wideo traktuje o strojeniu instrumentów. Jego autor próbuje przekonać nas, że częstotliwość 432 Hz w hierarchii bytów stoi wyżej od częstotliwości 440 Hz. W ramach argumentacji powołuje się na najróżniejsze nauki: matematykę, historię, muzykologię, akustykę, filozofię, a nawet astronomię. Niestety, jego wywody sprowadzają się jedynie do astronomicznych pomyłek.

Niniejszy wpis będzie stanowić erratę do filmu. Zostaną wypunktowane wszystkie błędy (włącznie z niekiedy niepoprawnym tłumaczeniem). Ponieważ chcieliśmy wyprostować wszystkie pomyłki, konfrontując wypowiedzi autora z faktycznym stanem rzeczy, a co drugie zdanie zawierało jakąś nieścisłość, dokonaliśmy praktycznie transkrypcji całego filmu.

Jesteśmy przy tym otwarci na dyskusję. Można (czasami nawet trzeba!) się z nami nie zgadzać. Zainteresowanych, na jakich zasadach można tego dokonać, odsyłamy do zakładki standardy. Ponieważ nikt nie dysponuje nieskończonym czasem, a czeka nas długa przeprawa, przejdźmy od razu w środek spraw.

Gwoli napomnienia, czyli orszak dźwięcznych bzdur

[Pitagoras] zauważył, że szarpnięcie napiętej struny wydaje ton, a gdy tę strunę skróci się o połowę, daje ten sam ton, tylko o oktawę wyżej.

Pierwsza nieścisłość jest raczej subtelna i zgoła nie zapowiada tego, co ma nadejść. Pitagoras faktycznie zainteresowany był muzyką i rzeczywiście próbował wyjaśnić ją na poprzez zasady matematyczne.

Fakt, że kategoryzujemy dźwięki jako niskie i wysokie, nie jest jednak cechą uniwersalną, a metaforą wykształconą w naszym kręgu kulturowym. W starożytnej Grecji teoretycy muzyki mówili o ostrości lub ciężkości dźwięków. Zatem i Pitagoras nie odbierał dźwięków w kategoriach wysokościowych – jest to anachronizm i etnocentryzm.

Ciekawy wykład Davida Hurona o metaforach postrzegania dźwięku można zobaczyć pod tym linkiem. O tym, jaki wpływ metafory mają na nasze postrzeganie świata, możemy poczytać w książce „Metafory w naszym życiu”, którą napisali George Lakoff i Mark Johnson.

Pitagoras wymyślił stosunki liczbowe oparte na harmonicznych kwintach.

Interwały, czyli odległości między dźwiękami (to również metafora!), dzielimy na melodyczne (następujące po sobie) oraz harmoniczne (współbrzmiące).

Jednym z interwałów jest kwinta czysta. Kwinta wyraża się stosunkiem 3:2, czyli 1,5:1. Dlatego np. kwinta od 100 Hz to 150 Hz.

Kwinta melodyczna brzmi tak:

Kwinta harmoniczna brzmi tak:

Ponieważ Pitagoras eksperymenty przeprowadzał na monochordzie złożonym z jednej struny, mogącej wydobyć pojedynczy dźwięk, pracował na kwintach melodycznych, a nie harmonicznych.

… co doprowadziło do stworzenia skali muzycznej leżącej u źródeł prawie całej współczesnej muzyki.

Zaopatrzony w swoje kwinty, Pitagoras wymyślił strój pitagorejski, który przez długi czas wykorzystywany był w europejskiej muzyce. Wyszedł jednak z użycia w epoce renesansu. U źródeł prawie całej współczesnej muzyki stoi strój równomiernie temperowany. Ponieważ jest to skomplikowane zagadnienie, kiedyś poświęcimy mu odrębny wpis. Na razie możemy tylko zwrócić uwagę, że strój pitagorejski nie stoi u podstaw współczesnej muzyki.

Ważne jest, by zauważyć, że według Pitagorasa wszystkie nuty odkryto przy użyciu matematyki.

Najpierw Pitagoras eksperymentował ze skracaniem struny, dopiero później opisał zjawiska akustyczne za pomocą prawideł matematycznych. Zatem nie odkrył muzyki w matematyce, tylko matematykę w muzyce.

(…) i nadano im wartości liczbowe, stosownie do ich miejsca w pewnego rodzaju tabeli.

Pitagoras nie pozostawił po sobie żadnych pism. O jego dokonaniach wiemy głównie z średniowiecznego traktatu Boecjusza zatytułowanego „De institutione musica”. W tym dziele nie występuje żadna tabela, o której mowa jest na filmie.

Zainteresowanych znaczeniem Boecjusza dla rekonstrukcji nauki pitagorejskiej odsyłamy do publikacji Dominika Burakowskiego, znajdującej się pod tym linkiem.

Na przykład, używając kwint od nuty numer 1, był on ostatecznie kierowany do nuty 27.

Czegokolwiek nie oznacza „nuta 27”, tego też nie znajdziemy u Boecjusza. Za chwilę przekonamy się, że liczba ta została przez autora zmyślona po to, aby pasowała do wcześniej powziętej koncepcji. Poza tym, dlaczego Pitagoras miałby być kierowany do „nuty 27”, a nie 28 czy 29?

(…) i aby znaleźć tę samą nutę w kolejnych oktawach, po prostu ją podwajał do 54, 108, 216, 432, etc.

Okazuje się, że przeskakujemy do mówienia o częstotliwościach. Jest w tym mały kłopot. Pitagoras nie znał pojęcia częstotliwości. A to z tej prostej przyczyny, że jednostka herca opiera się na sekundzie (jeden herc to inaczej raz na sekundę). Sekunda została wprowadzona w XVI wieku. Pitagoras zmarł ponad dwa tysiące lat wcześniej.

Teraz rozumiemy jednak, po co została wymyślona liczba 27. Jej wielokrotnością jest 432, czyli liczba, na której opiera się cały wykład.

Jeśli kiedykolwiek słyszałeś o stroju pitagorejskim, to wiesz, że liczba 432 jest dość ważna.

Liczba 432 jest powiązana ze strojem pitagorejskim dokładnie w taki sam sposób jak każda inna (np. 440): można tak dobrać dźwięki skali, żeby dźwięk A przypadał na dowolną częstotliwość.

Zaczynając od C = 256 Hz, kolejne dźwięki w oktawie przybiorą w stroju pitagorejskim następujące częstotliwości (w przybliżeniu do dwóch miejsc po przecinku):

C 256 Hz
D 288 Hz
E 324 Hz
F 341,33 Hz
G 384 Hz
A 432 Hz
H 686 Hz
C 512 Hz

Zaczynając od C = 260,74 Hz otrzymamy zaś następujące częstotliwości:

C 260,74 Hz
D 293,33 Hz
E 330 Hz
F 347,65 Hz
G 391,11 Hz
A 440 Hz
H 495 Hz
C 521,48 Hz

Nie ma żadnego powodu, żeby przedkładać jedną częstotliwość nad drugą. Tym bardziej, że autor zasugeruje później, aby rozpocząć od C = 126 Hz.

Dla samego Pitagorasa prawdopodobnie nie wyróżniała się ona spośród innych w jego numerycznej siatce.

Pitagoras naprawdę nie miał żadnej siatki. I naprawdę, choć jego żywot był długi, nie dożył dwóch tysięcy lat.

Otóż, wiele starożytnych instrumentów muzycznych – od mis tybetańskich po flety amerykańskich Indian – zdaje się wydawać ten sam ton – ton, który wibruje z częstotliwością 432 Hz.

Jedno zdanie, a tyle nieścisłości!

Większość starożytnych instrumentów jest w takim stanie, że nie da się na nich już grać. Dlatego tylko nieliczne okazy mogą zostać poddane testom akustycznym. Niestety, nie istnieją żadne naukowe publikacje, które mogłyby potwierdzić hipotezę, że dawne instrumenty strojono na 432 Hz Jedynym źródłem tej absurdalnej hipotezy są pseudonaukowe portale z kolorowymi obrazkami, a także filmy w rodzaju Geometrii dźwięku.

Ponadto, co istotniejsze, instrumenty dęte zazwyczaj nie mają stale przypisanej częstotliwości. To, jaki dźwięk usłyszymy, zależy od sposobu wydobycia dźwięku. Dlatego z odpowiednią techniką można na jednym instrumencie zagrać 440 Hz, 435 Hz czy nawet 430 Hz.

Aby grubą warstwę konfabulacji zastąpić czymś wartościowym, przedstawimy ciekawostkę. Najstarsze grywalne instrumenty odnaleziono na stanowisku neolitycznym Jiahu w Chinach. Są one datowane są na 7000 p.n.e., mają zatem 9000 lat. Odkrycie opisano w 1999 roku na łamach Nature. 10 lat później dokonano kolejnego odkrycia. Tym razem najstarszego zachowanego instrumentu w ogóle, sięgającego 35000 roku p.n.e. Był to flet wykonany z ptasiej kości mający 5 otworów. Niestety, nie dało się na nim już grać.

Najstarszy zachowany instrument na świecie. Źródło: nature.com.

To zniewalające, ale jeszcze bardziej intrygujący jest fakt, że Pitagoras nie obliczał cykli wibracji, by odkryć ton 432. On po prostu okazuje się być tą samą liczbą.

Chętnie wysłuchamy sugestii Czytelników, jak interpretują te zdania. Według nas pozbawione są jakiegokolwiek sensu.

Co więcej, przez dziesięciolecia, większość nowoczesnych instrumentów także była strojona do tej samej A4=432 Hz.

Poza rokiem 1884 we włoskiej armii, A432 nigdy nie było standardem. Sprawę wyjaśniliśmy w poprzednim wpisie.

Kto wybrał tę szczególną nutę jako podstawowe do strojenia instrumentów i co ważniejsze – dlaczego?

Odpowiadamy: nikt. I co ważniejsze – dlatego, że wcale nie jest szczególna.

W tym miejscu zaczyna wyłaniać się głębsza tajemnica.

Wypowiedzi tej towarzyszy zdjęcie Pitagorasa na tle kosmosu połączone z muzyką, które mają przydać rozważaniom głębi. Niestety, stale ślizgamy się po rzeczach wielce powierzchownych, niepopartych żadnymi dowodami.

Na początku przyjrzyjmy się pierwszym czterem geometrycznym kształtom: koło, trójkąt, kwadrat i pięciokąt.

Wspomniane figury nie są „pierwszymi czterema kształtami geometrycznymi”, ponieważ taki porządek nie istnieje. Każdy może wybrać sobie cztery figury według własnej woli. Dlaczego nie na przykład trójkąt, czworościan, sześcian, hipersześcian? Albo trójkąt, kwadrat, romb i trapez? Czy też trójkąt, czworokąt, pięciokąt i sześciokąt? Każdy wybór jest równie arbitralny i nie ma żadnego uzasadnienia z zewnątrz.

A przy okazji, co w gronie wielokątów robi koło?

Każdy z nich ma wartości kątowe, które po dodaniu zawsze dodają określony wynik związany z konkretnym kształtem.

O ile w wielokątach można liczyć sumę kątów wewnętrznych, to koło – pozbawione jakichkolwiek kątów – jest tym bardziej pozbawione kątów wewnętrznych, dlatego nie jest analogiczne wobec pozostałych figur.

Skoro jesteśmy przy kątach, przypomnijmy sobie, że ich miara jest arbitralna. Fakt, że kąt pełny wynosi 360 stopni, zawdzięczamy Babilończykom, nie ma w tej wartości nic naturalnego. Gdyby zdecydowali się oni wyrazić kąt pełny za pomocą 368 stopni, dziś bylibyśmy zalewani falą pseudonaukowych filmów głoszących, że naturalna jest częstotliwość 440 Hz.

Do dziś istnieją inne miary kątów – gradusy i radiany. 360 stopni to inaczej 2π radianów i 400 gradusów. Wybór jednej z trzech metod mierzenia kątów może zależeć od naszego kaprysu.

Dla kwadratu i koła jest to liczba 360 stopni.

Czym innym jest miara kąta pełnego, a czym innym suma kątów wewnętrznych. Pojęć tych nie można utożsamiać.

Wydaje się być w nich coś, co wykracza poza zwykłe sumy kątów.

Niestety, zwykłe sumy kątów to zwykłe sumy kątów.

Czy zauważyliście, że wydają się być w tym samym sąsiedztwie z tonem 432?

180 360 432 540

Tak, to doprawdy niesamowite. Ale nie wartości te nie tworzą żadnego konsekwentnego ciągu. Nawet gdyby tworzyły, i tak nic by to nie oznaczało.

Konsekwentny ciąg mogłaby stanowić następująca sekwencja (w której każdy kolejny wyraz jest większy o 90):

180 270 360 450 540

Zaobserwujmy, że bliżej podanego będzie taki ciąg:

180 360 440 540

Ale oczywiście i tak nie ma to żadnego znaczenia.

Co więcej, wszystkie sumują się do 9.

Mnożąc 9 przez dowolną liczbę, sumując cyfry wyniku, a następnie sumując cyfry kolejnego rezultatu – i tak dalej, aż do uzyskania liczby jednocyfrowej – otrzymamy ponownie liczbę 9.

Dla przykładu:
9*240=2160
2+1+6+0=9

Własność ta nie wynika jednak z Harmonii Wszechświata, a z naturalnych konsekwencji systemów liczbowych.

W systemie dziesiętnym (10) taką własność ma liczba 9.
W systemie dziewiątkowym (9) taką własność ma liczba 8.
W systemie ósemkowym (8) taką własność ma liczba 7.
…
W systemie N-tkowym (N) taką własność ma liczba N-1.

Wszystkie wspomniane liczby są wielokrotnościami 90, są zatem także wielokrotnościami 9 (9*10=90). Dlatego muszą mieć takie właściwości, jakie mają. Gdyby wybrać inny system liczbowy, upadłyby wszystkie te rozważania.

Dla eksperymentu przyjrzyjmy się liczbom znalezionym w podstawowych geometrycznych kształtach…

Liczby nie mieszczą się w kształtach, to tylko zbyt daleko idąca metafora.

… a następnie zastosujmy te liczby jako cykle wibracji, by usłyszeć dźwięki, jakie tworzą.

Jesteśmy właśnie świadkami największej niedorzeczności w całym filmie, na której opierają się całe rozważania. Stopnie kątowe podmieniane są na herce, bo… Bo tak! Niestety, ta operacja jest niczym innym, niż wyjątkowym absurdem.

Herce nie są i nigdy nie będą tożsame ze stopniami kątowymi. Jednostki matematyczne zaczerpnięte są z matematyki (niesłychane, prawda?), a jednostki fizyczne (jak możemy się spodziewać) z fizyki. Te dwa światy nie są wymienne. Stopień jest jednostką miary kąta płaskiego, a herc jednostką miary częstotliwości, określoną jako liczbę cykli na sekundę.

To podmienienie wartości matematycznej na fizyczną, jest wybitnie kuriozalne i nieuzasadnione. W ściśle analogiczny sposób, stosując ten trik możemy zamienić 6 gradusów na 6 ton i uzyskać dorodnego słonia afrykańskiego.

Najpierw posłuchajmy, jak brzmi 180 stopni całkowitej sumy kątów trójkąta.

180 stopni to nie 180 Hz. Najlepiej nam nie wierzyć i sprawdzić samemu: proszę spróbować kątomierzem zmierzyć częstotliwość dźwięku. Albo za pomocą częstotliwościomierza powiesić na ścianie obrazek tak, aby wisiał prosto.

Doskonała oktawa w górę, od trójkąta.

Mamy do czynienia z kalką z angielskiego (perfect octave). Po polsku mówimy oktawa czysta.

[Słyszymy dźwięk o częstotliwości 540 Hz] To brzmi jak harmoniczna kwinta dwóch poprzednich. To interesujące.

Pojedynczy dźwięk nie może brzmieć jak harmoniczna kwinta, gdyż interwały harmoniczne polegają na współbrzmieniu dwóch dźwięków. .

Częstotliwość 540 Hz stanowi kwintę od 180 Hz, ale nie ma w tym nic interesującego, bo kwinta wyraża się stosunkiem 3:2, jak już wspominaliśmy.

Weźmy inny przykład. Kwinta utworzona od 293,33 Hz będzie miała 440 Hz. To też nie ma absolutnie żadnego znaczenia.

To są tony Fis i ich idealna kwinta w tonie Cis [360 Hz i 540 Hz].

Częstotliwości nie mają stale przypisanych nazw dźwięków. Każda częstotliwość może być według własnego widzimisię dowolnym dźwiękiem. Ponadto 540 Hz jest kwintą jedynie dla 360 Hz, dla 180 Hz jest duodecymą (teoretycznie równoważną, jednak nie tożsamą z kwintą).

Jak brzmi 720 stopni heksagonu?

Choć słowo „heksagon” również istnieje w języku polskim, prościej będzie powiedzieć „sześciokąt”. Być może nie otrzemy się wówczas o splendor greckiej etymologii, ale przynajmniej będziemy łatwiej zrozumieni. Przypominamy przy okazji, że 720 stopni nie brzmi. Wybrzmiewać może najwyżej 720 Hz.

To kolejne Fis [720 Hz względem 360 Hz].

W tym nie ma nic dziwnego, ponieważ oktawa wyraża się stosunkiem 2:1.

To jest siedmioboczny siedmiokąt…

To już poważny błąd językowy. Siedmiobok to inaczej siedmiokąt. Aby uniknąć typowego w takiej sytuacji porównania z wyrobami przetwórstwa mlecznego, proponujemy następujący paralelizm: bzdurne bzdury.

To jest Ais, które okazuje się być tonem wymaganym do uzupełniania akordu Fis-dur, w doskonałej trzyczęściowej harmonii.

W tłumaczeniu pojawia się kalka językowa. Three-part harmony przetłumaczone jest jako trzyczęściowa harmonia. W kontekście muzycznym part to po prostu głos, a three-part harmony to harmonia trzygłosowa.

W akordzie durowym nie ma nic doskonałego, jest jedną z wielu możliwych konstrukcji muzycznych.

Jednak skoro jesteśmy w temacie doskonałej harmonii trzygłosowej, proponujemy Inwencję trzygłosową c-moll Jana Sebastiana Bacha w wykonaniu Glenna Goulda.

I wreszcie ośmiokąt, gzie otrzymujemy 1080 stopni – kolejne Cis.

1080 stopni to też nie 1080 Hz, nic nie zmieniło się od ostatniego czasu.

Nagle geometria jest wyrażana przez dźwięki…

Nie łudźmy się. Nie jest.

… i okazuje się, że te dźwięki tworzą najpiękniejszą formę muzyki. Doskonały trzyczęściowy akord w tonacji Fis[-dur].

Czy fale sinusoidalne rzeczywiście są szczytowym osiągnięciem estetyki muzycznej? Możemy mieć pewne wątpliwości.

Akord Fis-dur nie jest związany wyłącznie z tonacją Fis-dur. Występuje również w H-dur i Cis-dur.

Ale skoro jesteśmy w Fis-dur…

Czy jest to coś, czego brakowało nam od lat? Czy to ważne?

Odpowiedź na obydwa pytania jest jednakowa: nie.

Dla sławnego filozofa i matematyka Platona odpowiedź brzmiałaby „tak”.

Zaręczamy, że Platon, choć młodszy od Pitagorasa, również nie dożył dwóch tysięcy lat, aby znać pojęcie częstotliwości.

[Platon] zaczął rozpoznawać, że natura – wyrażana jako dźwięk, układ płatków kwiatka lub spiralna budowa muszli – wydaje się podążać za trójwymiarowym matematycznym wzorem.

Dźwięk, układ płatków kwiatka i spiralna budowa muszli to całkowicie różne rzeczy. Nie należy ich ze sobą utożsamiać. Na pewno nie czynił tego Platon. Natura nie podąża za jednym matematycznym wzorem, jest to wyraz idealizmu matematycznego, który w konfrontacji z rzeczywistością obraca się wniwecz.

Jego poszukiwania zakończyły się tym, co obecnie nazywamy bryłami platońskimi.

Bryły platońskie nie zostały zdefiniowane przez Platona. Pierwszy uczynił to Teajtet, którego nazwisko pojawia się zresztą w tytule jednego z dialogów Platona.

Wizja brył platońskich autorstwa Johannesa Keplera.
Źródło: Wikimedia Commons.

Prawo Stiglera głosi, że żadne odkrycie naukowe nie nosi nazwiska jego prawdziwego odkrywcy. Zawdzięcza ono swą nazwę statystykowi Stephenowi Stieglerowi, który oczywiście wcale go nie odkrył – pierwszy zależność tę zauważył socjolog Robert K. Merton.

Do tej pory widzieliśmy, jak dwu- i trójwymiarową geometrię można wyrazić za pomocą nut znajdujących się w akordzie durowym Fis.

Nie łudźmy się. Nie widzieliśmy. Naszym oczom ukazywały się dotychczas jedynie kuglarskie sztuczki.

Czy to może sprawdzać się również w tym, co znane jest jako Święta Geometria?

Ponieważ zawsze powinniśmy zachować pewne podejrzenia wobec Teorii Dla Wtajemniczonych, Które Kapitalizuje Się W Celu Osiągnięcia Większego Efektu, spodziewamy się, że odpowiedź będzie pozytywna.

Aby się przekonać, musimy najpierw stworzyć wzór zwany „Zarodkiem Życia”, który w trakcie powtarzania ujawnia „Ziarno Życia”, a następnie wzór „Kwiatu Życia” znajdujący się w świętych miejscach na całym świecie.

To, że w różnych miejscach wykorzystuje się okręgi w różnych zestawieniach wcale nie oznacza, że koniecznie układają się one w symbol New Age.

Od razu uprzedzamy, gdyby zaistniały wątpliwości. „Ziarno Życia” nie występuje ani w logotypie olimpiady, ani w logo Audi.

Niezwykłe!

Nie, zwykłe.

To tak, jakbyśmy mogli teraz zarazem zobaczyć i usłyszeć wzór Kwiatu Życia, który intryguje ludzkość od tysięcy lat.

Mogliśmy go tylko zobaczyć. Nie da się bowiem usłyszeć figur geometrycznych.

Dlaczego nie jest to powszechną wiedzą?

Wiedza powszechna to przypadek szczególny wiedzy. Wyjaśnimy zatem, dlaczego rozważania nie są wiedzą (a w szczególności wiedzą powszechną).

W epistemologii, czyli dziedzinie filozofii dotyczącej poznania, wiedzę definiuje się jako uzasadnione prawdziwe przekonanie.

Ponieważ pustosłowie, z którym się właśnie rozprawiamy, nie jest ani uzasadnione, ani prawdziwe, a stanowi tylko przekonanie, nie mamy do czynienia z wiedzą.

Istnieją właściwie trzy powody.

Ponieważ znamy ciąg dalszy, musimy przerwać tok rozumowania i przedstawić anegdotę o Napoleonie, aby odpowiednio nastroić Czytelnika. Gdy cesarz przejeżdżał przez niewielkie miasteczko francuskie, zafrasował się tym, że nie powitały go owacyjne salwy. Zapytał więc burmistrza:
– Dlaczego nie strzelacie z armat na moją cześć?
– Powodów jest osiem – odrzekł burmistrz. – Po pierwsze, nie mamy armat.

Pierwsze to powód postrzegany jako prozaiczny lub konspiracyjny: muzycznych instrumentów nie stroi się już do tonu A wibrującego z częstotliwością 432 Hz, lecz 440 Hz.

Chociaż teorii spiskowych dotyczących A432 jest mnóstwo, jedna bardziej absurdalna od drugiej, żadna nie została zawarta w powyższym zdaniu.

Drugi powód: współcześnie wymaga się strojenia równomiernie temperowanego, które nie odnosi się już do pitagorejskiej prostoty liczb całkowitych.

W systemie pitagorejskim też nie mamy do czynienia wyłącznie z liczbami całkowitymi. Kwartę od tonu podstawowego otrzymujemy przez mnożenie częstotliwości przez . Ponieważ ta wartość wynosi 1,33333333… (i tak bez końca), mnożąc ją przez dowolną liczbę całkowitą, otrzymamy liczbę niecałkowitą. Pitagorejska prostota zaczyna się komplikować.

Po trzecie, metoda strojenia wymaga do ujawnienia geometrycznych kształtów opiera się raczej na matematycznej tabeli niż na matematycznych proporcjach. Gdyby ta tabela miała nazwę, to najpewniej byłaby określana jako „Czynnik 9”, ponieważ cyfra 9 znajduje się nie tylko w sumie każdego dźwięku w tabeli, ale jest również cyfrą wymaganą do poruszania się w górę i w dół skali.

Czytelnikowi, który przeciera oczy ze zdumienia, prezentujemy tabelkę, o której mowa jest w powyższym fragmencie.

c  126  252  304  1008  2016
c# 135  270  540  1080  2160
d  144  288  576  1152  2304
d# 153  306  612  1224  2448
e  162  324  643  1296  2592
f  171  342  684  1368  2736
f# 180  360  720  1440  2880
g  189  378  756  1512  3024
g# 198  396  792  1584  3168
ab 207  414  828  1656  3312
a  216  432  864  1728  3456
a# 225  450  900  1800  3600
h  234  456  936  1872  3755

To drugie największe kuriozum w filmie, zaraz po zmianie stopni kątowych na herce. Oto problemy z nią związane.

→ Suma cyfr każdej liczby ma sumować się do 9. Houston, mamy problem:

304: 3 + 0 + 4 = 7
643: 6 + 4 + 3 = 13, 1 + 3 = 4
456: 4 + 5 + 6 = 15, 1+5 = 6
3755: 3 + 7 + 5 + 5 = 20, 2 + 0 = 2

→ Skąd w ogóle pojawiają się wszystkie pozostałe liczby poza 270, 360, 540, 720, 900 i 2160, o których była mowa wcześniej? Przemyconych bez żadnego wyjaśnienia jest 59 liczb.

→ Każda kolejna wartość w wierszach powinna być dwa razy większa od poprzedniej (jak pamiętamy, oktawa wyraża się stosunkiem liczbowym 2:1). Tutaj nie ma to miejsca w następujących przypadkach:

1. 304:252 = 1,2
2. 1008:304 = 3,31
3. 643:324 = 1,98
4. 1296:643 = 2,02
5. 456:234 = 1,95
6. 936:456 = 2,05
7. 3755:1872 = 2,006

→ Oktawa zawiera 12 dźwięków. Na tym filmie zawiera 13 dźwięków. Dzieje się tak, gdyż jego autor ten sam dźwięk (mający różne nazwy) wprowadził dwa razy. Chodzi o gis i as (w tabeli: g#, ab), które na klawiaturze fortepianu są następującym dźwiękiem.

Dźwięk gis (względnie as) na klawiaturze fortepianu zaznaczony na czertwono.
Źródło: opracowanie własne.

→ Kolejne dźwięki w oktawie nie mogą być oddzielone o tę samą wartość w hercach, gdyż w ten sposób dla ludzkiego ucha każdy kolejny interwał (odległość między dźwiękami) byłby coraz mniejszy.

→ Zgodnie z podanymi koncepcjami, 88 klawiszy fortepianu dawałoby rozpiętość 792 Hz (po 9 Hz na klawisz). Zwykły fortepian ma rozpiętość ok. 4158 Hz.

→ W dniu wprowadzenia takiego układu w życie wszystkie sopranistki straciłyby pracę, gdyż eliminuje on prawie wszystkie wysokie dźwięki.

→ Mozart (ten od efektu Mozarta, podobnie bzdurnej hipotezy, którą też weźmiemy kiedyś na warsztat | aktualizacja 28.06.2019: zrobiliśmy to!) musiałby wyrzucić wszystkie swoje opery do kosza.

→ Tak czy inaczej, przedstawiony schemat nie ma nic wspólnego ze strojem pitagorejskim. Dla C = 126 Hz, skala durowa będzie wyglądała następująco:

C 126 Hz
D 141,75 Hz
E 159,47 Hz
F 168 Hz
G 189 Hz
A 212,62 Hz
H 239,2 Hz
C 252 Hz

Przygotowaliśmy specjalny program, dzięki któremu można samemu tworzyć listę częstotliwości w stroju pitagorejskim od dowolnego dźwięku. Jest on dostępny pod następującym linkiem: https://www.jdoodle.com/a/Cbw.

Należy tylko odpowiednio zmodyfikować następującą linijkę:

start = 256

i wpisać dowolną inną liczbę, po czym kliknąć Execute, a na czarnym tle pojawi się rozpiska częstotliwości.

Można wpisywać liczby z rozwinięciem dziesiętnym, ale wykorzystujemy wtedy kropkę zamiast przecinka, np.:

start = 260.74

I właśnie w tej niesamowitej tabeli „Czynnika 9” znajdujemy nie tylko niektóre spośród naszych geometrycznych liczb, ale wszystkie z nich, w przeciwieństwie do współczesnego strojenia A440, które nie ujawnia ani jednej korelacji z liczbami geometrycznymi.

Korelacja ma w matematyce ściśle określone znaczenie. Jest to związek między dwoma zmiennymi losowymi X i Y. Dlatego ani 432 Hz, ani 440 Hz, ani żadna inna częstotliwość nie ujawnia korelacji z liczbami geometrycznymi.

Cofnijmy się na moment i spójrzmy na jedną z tych liczb – 2160…

Zgoda. Zróbmy to!

2160

Jeżeli napatrzyliśmy się, możemy przystępować do dalszej lektury.

… liczbę wyrażoną przez sześcian i wzór „Zarodka Życia”.

O błędzie utożsamiania liczb z figurami geometrycznymi pisaliśmy już wcześniej, więc tylko odnotujemy, że zauważyliśmy popełnienie tego błędu po raz kolejny.

Może już zauważyliście, że bez zera jest to dokładnie połowa naszej magicznej 432.

Pójdźmy tym tokiem rozumowania! Bez dwójki 2160 to 160. Bez jedynki to 260. Bez szóstki to 210. Średnia tych trzech liczb (bo czemu nie!) to 210. Pomnożona przez 8 (bo czemu nie!), daje 1680. W 1680 roku Ludwik XIV powołał do życia Komedię Francuską. Dziwnym zbiegiem okoliczności, mamy tutaj do czynienia z komedią, której nie powstydziłby się Molier. Przypadek?

Warte zauważenia, ale bardziej intrygujący jest sposób, w jaki liczba ta ukazuje się w miarach wielkoskalowych.

Tak, to ci sami Majowie od pamiętnego końca świata z 21 grudnia 2012 roku. Ach, co się nie działo tego dnia! Ponieważ była mroźna zima, pszczoła nie krążyła nad kwiatem nasturcji, a niejeden rybak trwożył się zamarzniętym jeziorem. Brak odpowiednich warunków pogodowych sprawił, że koniec świata został odwołany. Wszyscy odetchnęli z ulgą. Tylko siwy staruszek mamrotał coś pod nosem.

Ich koncepcja cyklicznego czasu umożliwiała wiele niezwykłych odkryć.

O znacznie ciekawszej koncepcji cyklicznego czasu poczytamy w książce pt. „Rzeźnia nr 5” Kurta Vonneguta. Swoją drogą, to również fikcja.

W jakiś sposób świadomi faktu, że pełny jej obrót trwa 25920 lat.

Mowa jest o precesji osi Ziemi. To efekt, poprzez który oś ziemska kreśli na tle nieba okrąg. Dopełnienie cyklu trwa jednak nie 25920, a 25772 lata.

To nic nie szkodzi. Majowie i tak nie znali tych liczb.

Majowie nazwali ten cykl Wielkim Rokiem składającym się z 12 Wielkich Miesięcy, z których każdy miał 2160 lat.

Kalendarz Majów był zbudowany na zupełnie innych zasadach, o czym można poczytać pod tym linkiem.

A co powiecie na to? Czy wiedzieliście, że średnica naszego Księżyca liczona w milach wynosi 2160?

Dlaczego liczymy średnicę w milach? Co tu się wyprawia? Po otrząśnięciu się, chwytamy milową miarkę w dłoń i lecimy na Księżyc.

Właściwa wartość to 2159,1 mil. Źródło.

W końcu zobaczymy, co się stanie, gdy zastosujemy proste dzielenie do tej liczby.

Numerolodzy ogłaszają tydzień kuglarstwa. Populacja nieuzasadnionych matematycznych sztuczek zwiększa się.

2160:5 – jesteś gotów? To kluczowy ton 432.

Znamy lepszy trik! 2200:5 – jest teście gotowi? 440. Efektowne, nieprawdaż?

Wszystkie Fis i Cis z naszą A=432, zmieszane razem tak, jakby były jakimś kluczem do rozwiązania kosmicznej zagadki. Może powinniśmy przyjrzeć się tej liczbie jeszcze bardziej?

Zgoda!

432

Doprawdy imponująca liczba.

A co z innym wielkim obiektem naszego nieba? Wiecie, że Słońce ma średnicę 864000 mil?

Otóż nie. Ma ok. 864600 mil. Źródło.

Niezwykłe jest to, że podstawowa sekwencja liczb Księżyca to ½ z 432, a sekwencja liczb Słońca to dokładnie 2*432.

W świetle powyższych błedów obliczeniowych – niezbyt dokładnie.

A czy wiesz ile sekund ma dzień? 86400. Albo też 43200 w 12 godzinach dnia i 43200 w 12 godzinach nocy.

Poprzez manipulacje różnymi jednostkami próbuje się nam wmówić, że 432 Hz to częstotliwość naturalna, związana z samym Kosmosem. Ustalmy coś raz na zawsze, żeby więcej nie powielać tego błędu.

Z uwagi na to, że sekunda nie jest jednostką naturalną, nie jest nią również herc. 1 Hz to inaczej raz na sekundę. Dlatego pomysł, że jakakolwiek częstotliwość jest naturalna czy zgodna z kosmosem, należy włożyć między bajki. Bez trudu uświadomimy to sobie, gdy zerkniemy na definicję sekundy:

1 sekunda to czas równy 9 192 631 770 okresom promieniowania odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury nadsubtelnej stanu podstawowego S1/2 atomu cezu 133 Cs w temperaturze 0 K.

Konsekwencją tej definicji jest fakt że 432 Hz to inaczej raz na 2127924,02 X, a 440 Hz to raz na 2089234,49 X, gdzie X oznacza okres promieniowania odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury nadsubtelnej stanu podstawowego S1/2 atomu cezu 133 Cs w temperaturze 0 K.

Nie ma żadnych powodów by twierdzić, że 2127924,02 jest liczbą bardziej naturalną 2089234,49 (biorąc rzecz ściśle matematycznie, nie są to nawet liczby naturalne).

Weź 360 stopni z kolistego kształtu Słońca i Księżyca, a potem pomnóż to przez 12 godzin albo dnia albo nocy…

Mamy nieodparte wrażenie, że przepis ten pochodzi z księgi szeptuchy, która na innej karcie zapisała następujące lekarstwo na nieszczęście w miłości:

pietruszka, szałwia, rozmaryn, tymianek
i nie odpędzisz się od kochanek

Nic nie usprawiedliwia zaproponowanej procedury. Ani jednej, ani drugiej.

…odpowiedź? 4320.

Choć dodawanie zera do liczby nie zmienia jej wartości, to usuwanie zera z reprezentacji dziesiętnej zazwyczaj do tego prowadzi. Gdyby operacja redukcji ostatnich zer byłaby powszechnie dozwolona, bankierzy zacieraliby ręce.

Jaka jedyna liczba całkowita, która podniesiona do kwadratu daje miarę prędkości światła z dokładnością do 0,01%?

Skąd ten pomysł? No dobrze, podejmujemy rękawice. Gdy wyzwanie rzuci los, z odwagą stań i walcz – mawiał klasyk.

W Układzie SI jednostką miary jest metr, a czasu – sekunda. Dlatego będziemy liczyć w metrach na sekundę.

m/s

Gdyby liczba nie musiała być całkowita, wtedy moglibyśmy osiągnąć zerowy błąd. Wtedy rezultatem byłaby następująca wartość:

Każdy pierwiastek kwadratowy ma dwa rozwiązania. Z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku rezultatem są:

lub

Rozumiemy jednak, że chodzi o liczbę całkowitą. Powinniśmy zatem rozważyć dwa zestawy kandydatów:

lub

lub

Podnieśmy te wartości do kwadratu:

Sprawdźmy, która z liczb charakteryzuje się mniejszym błędem.

Błąd A

Błąd B 

Wybieramy zatem zestaw lub .

432.

Zaraz, czy zgubiliśmy się gdzieś w rachunkach? Nie, to po prostu autor postanowił liczyć prędkość światła w milach na sekundę!

Niestety, i teraz odpowiedź jest nieprawidłowa.

1 mila to 1,609344 km.

Prędkość światła jest równa 299792458 m/s, czyli 299792,458 km/s.

Prędkość światła w milach jest równa 186282,397051 mil/s.

Zastosujmy analogiczne obliczenia. Zerowy błąd otrzymalibyśmy dla następującego pierwiastka:

Jego rozwiązaniami są:

lub

Rozważymy dwa zestawy kandydatów:

lub

lub

Podnieśmy te wartości do kwadratu:

Sprawdźmy, która z liczb charakteryzuje się mniejszym błędem.

Błąd A

Błąd B

Wybieramy zatem zestaw lub .

Przypomnijmy sobie teraz, jakie było pytanie. Jaka jedyna liczba całkowita, która podniesiona do kwadratu daje miarę prędkości światła z dokładnością do 0,01%?

0,01% to inaczej 0,0001.

Dla A = 432 oraz A = -432 ten błąd wynosi ok. 0,02. 0,02 > 0,0001, więc błąd jest większy od założonego w pytaniu.

Jaka jest zatem odpowiedź? Żadna liczba całkowita nie spełnia podanych kryteriów.

Nawet gdyby znalazła się taka liczba, nie miałaby najmniejszego znaczenia, gdyż mile nie mają nic wspólnego z hercami, a tym bardziej ze standardami strojenia.

Mamy tak różne rzeczy: cykle Ziemi, czas i niebiańskie miary, geometrię, częstotliwości dźwiękowe…

To prawda. Te różne rzeczy, których nic nie łączy, przypominają nam o mądrych tautologiach natury: las jest lasem, morze morzem, skała skałą. Cykle Ziemi – cyklami Ziemi, czas – czasem, częstotliwość dźwięku – częstotliwością dźwięku.

Świat jest piękny i różny. Pozwólmy mu takim pozostać.

… a jednak są one reprezentowane wciąż i wciąż przez te same liczby.

Nie są.

Aby rozwiązać zagadkę, musimy znaleźć czynnik, który łączy je wszystkie.

Tym czynnikiem jest doszukiwanie się zależności tam, gdzie ich nie ma.

Tym wspólny czynnikiem jest liczący 5 tys. lat sumeryjski dwunastkowy i sześćdziesiątkowy system liczbowy.

Cały wykład rozprawiał o liczbach w systemie dziesiętnym, a teraz z nikąd pojawia się system dwunastkowy i sześćdziesiątkowy.

To on zmienia cale na stopy, sekundy na minuty i daje 360 stopni w geometrii.

Kąt pełny ma 360 stopni w systemie dziesiętnym. W systemie sześćdziesiątkowym… 60. Źródło.

Jest prawie tak, jakby Bogowie Nieba, których Sumerowie nazywlai Annunaki przekazali ludziom system liczbowy prowadzący do odkrycia tych synchroniczności.

Jest prawie tak, że gdyby nie Prometeusz, ludzkość nigdy nie odkryłaby radości pieczenia kiełbasek na ognisku.

Czy liczba 432 faktycznie jest rodzajem kosmicznego klucza, który otwiera drzwi wyższego zrozumienia?

Odpowiedź brzmi: nie wiemy, choć się domyślamy. Przejdźmy jednak do piosenki, która najlepiej zobrazuje, co mamy na myśli.